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Matemática 51
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
4.
Calcular aplicando sustitucion.
e) $\int \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) x d x$
e) $\int \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) x d x$
Respuesta
Usamos la sustitución \(u = x^2\). Entonces, \(du = 2x \, dx\) y acá todos estaríamos tentados a hacer lo de siempre, despejar $dx$, PEEEERO acá es clave que notes que podés pasar solamente el 2 dividiendo del otro lado y que te quede la expresión $x dx$. Así que te quedaría \(x \, dx = \frac{du}{2}\). ¿Por qué? Porque al sustituir te queda la $x$, entonces de esta forma ya reemplazas la expresión $x dx$ por $\frac{du}{2}$ y te queda todo en función de $u$. Pero veamoslo:
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$
\int \sin(x^2) \, x \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C
$
Fijate lo que te dije antes, si vos solamente despejabas $dx = \frac{du}{2x}$ te iba a quedar: $\int \sin(x^2) \, x \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2x}$ y qué ibas a hacer con esa $x$ de ahí?
Cuando te pasa que te quedan ambas variables $u$ y $x$ en la integral, tenés que mirar bien cómo hacer para sacarte de encima la $x$.
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